Documentação

Física, aproximações e arquitetura do Cudernalis

Introdução

O Cudernalis é um simulador 3D interativo de orbitais atômicos escrito em Next.js + WebGL. A nuvem que você vê é |ψ|² amostrada por Monte Carlo — cada ponto é uma posição provável do elétron. O objetivo é apresentar orbitais de todos os 118 elementos com fidelidade física suficiente para uso em sala de aula universitária, sem esconder as aproximações feitas.

Equação de Schrödinger

Para um átomo hidrogenoide a equação estacionária tem solução exata:
ψₙₗₘ(r,θ,φ) = Rₙₗ(r) · Yₗᵐ(θ,φ).
A parte radial usa polinômios de Laguerre associados; a angular, harmônicos esféricos. Implementamos as formas reais (combinações lineares m ↔ −m) para obter p_x, p_y, d_{xy}, d_{z²} etc — as formas que os químicos costumam ver em livros-texto.

Hartree-Fock (Z > 1)

Para átomos com mais de um elétron, a equação de Schrödinger não tem solução fechada. Usamos a expansão Hartree-Fock-Roothaan: cada orbital ψ_{nℓ} vira uma combinação linear de funções de base χ_{n,ζ}(r) = N·rⁿ⁻¹·e⁻ᶻʳ. Os coeficientes ζ vêm de:
• Clementi-Raimondi (1963, 1967) — tabelas SCF para Z = 1 a 54.
• Regras de Slater (1930) — fallback universal para Z = 55 a 118.
Todos os orbitais são renormalizados numericamente para garantir ∫r²R²dr = 1.

Regras de Slater (1930)

Quando não há tabela SCF, estimamos a carga nuclear efetiva Z* = Z − σ. A constante de blindagem σ é a soma de contribuições dos outros elétrons segundo regras empíricas:
• Elétrons no mesmo grupo (n, nℓ): contribuem 0,35 cada (0,30 para 1s).
• Elétrons em (n−1): contribuem 0,85 (s,p) ou 1,00 (d,f).
• Elétrons em camadas mais internas: contribuem 1,00.
Com Z definimos ζ = Z/n, onde n é o número quântico principal efetivo.

Orbitais tipo Slater (STO)

Os STOs substituem os orbitais hidrogenoides por funções r^(n−1)·e^(−ζr), que capturam bem o comportamento assintótico do elétron (decaimento exponencial longe do núcleo). Vantagem sobre gaussianas: apenas uma função por orbital já dá resultado razoável (base single-zeta). Para maior precisão usamos double-zeta (duas exponenciais com ζ distintos por orbital, como nas tabelas Clementi-Raimondi de 1967).

Amostragem Monte Carlo

Para desenhar a nuvem, amostramos N posições (tipicamente 20 000–100 000) segundo a densidade de probabilidade |ψ|². Método:
1. CDF inversa radial — calculamos a função de distribuição acumulada de 4πr²|R(r)|² num grid, e invertemos por busca binária para cada amostra uniforme u ∈ [0,1].
2. Amostragem angular via rejection sampling sobre o harmônico esférico |Yₗᵐ(θ,φ)|².
3. PRNG determinístico Mulberry32 permite congelar a semente — resultados reprodutíveis.
Cada ponto é enviado à GPU num único buffer WebGL e renderizado como point-sprite aditivo.

Controles e interações

Os três números quânticos (n, ℓ, m) podem ser ajustados independentemente para átomos hidrogenoides. Para átomos multieletrônicos, n e ℓ ficam fixos no orbital selecionado (HOMO por padrão) e só m varia. O slicer (eixo X/Y/Z + posição do plano) corta a nuvem para revelar nós radiais internos. A evolução temporal aplica a fase e^(−iEt/ℏ) — visível apenas quando m ≠ 0 por causa da corrente azimutal.

Glossário

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Equação de Schrödinger

Equação fundamental da mecânica quântica não-relativística. Dita a evolução (ou, na forma estacionária, os estados permitidos) de uma partícula dada uma energia potencial.

Função de onda (ψ)

Objeto matemático complexo que descreve o estado de um sistema quântico. Seu módulo ao quadrado |ψ|² é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula.

Hartree-Fock

Método SCF em que cada elétron é tratado num potencial médio produzido pelos demais. Ponto de partida da maioria dos cálculos ab initio.

Regras de Slater

Conjunto empírico (J. C. Slater, 1930) para estimar a carga nuclear efetiva Z* = Z − σ a partir da configuração eletrônica. Usado como fallback quando não há tabelas SCF.

Orbital tipo Slater (STO)

Função de base χ(r) = N·r^(n−1)·e^(−ζr). Descreve o comportamento correto do elétron longe do núcleo (decaimento exponencial).

Harmônicos esféricos

Funções Yₗᵐ(θ,φ) que formam uma base ortonormal sobre a esfera. Aparecem como parte angular natural de problemas com simetria esférica.

Números quânticos (n, ℓ, m)

Inteiros que rotulam um autoestado do átomo: n (principal, energia), ℓ (angular, forma) e m (magnético, orientação). Regras: 0 ≤ ℓ < n, −ℓ ≤ m ≤ ℓ.

Princípio de Aufbau

Regra para preencher orbitais no estado fundamental: do mais baixo ao mais alto em (n+ℓ), com n menor em caso de empate. Explica a ordem 1s < 2s < 2p < 3s…

Princípio de exclusão de Pauli

Dois férmions idênticos não podem ocupar o mesmo estado quântico. Consequência: cada orbital comporta no máximo 2 elétrons (spins opostos).

Raio de Bohr (a₀)

Unidade natural de comprimento atômico, ≈ 0,529 Å. É o raio mais provável do elétron no estado 1s do hidrogênio.

Método de Monte Carlo

Família de algoritmos que resolvem problemas numéricos amostrando aleatoriamente o espaço de configurações. Usamos aqui para amostrar |ψ|².

Configuração eletrônica

Distribuição dos elétrons pelos orbitais de um átomo no estado fundamental, ex.: C = 1s²2s²2p². Determina propriedades químicas e espectrais.

Referências

Trabalhos que sustentam os cálculos implementados:

• E. Clementi, D. L. Raimondi — Atomic Screening Constants from SCF Functions, J. Chem. Phys. 38, 2686 (1963).
• E. Clementi, D. L. Raimondi, W. P. Reinhardt — SCF Functions for Atoms with 37 to 86 Electrons, J. Chem. Phys. 47, 1300 (1967).
• J. C. Slater — Atomic Shielding Constants, Phys. Rev. 36, 57 (1930).
• D. R. Hartree — The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field, Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, 89 (1928).
• C. C. J. Roothaan — New Developments in Molecular Orbital Theory, Rev. Mod. Phys. 23, 69 (1951).